Если вы возьмете обычную веревку, сделаете на ней петлю и проденете в нее свободный конец этой веревки, вы получите узел. Его прочность обеспечивается фундаментальным свойством нашего мира: твердые предметы не могут занимать одно и то же место в пространстве одновременно. Нити веревки упираются друг в друга, создают трение и блокируют дальнейшее движение. Из гибкого материала получается жесткая, фиксированная конструкция, способная выдерживать нагрузки.
Но эта конструкция надежна только в рамках трехмерной геометрии. Математика доказывает: стоит добавить в устройство пространства всего одну дополнительную координатную ось, как физическая блокировка перестанет работать. В четырехмерном пространстве любой узел, завязанный из обычной веревки, мгновенно распадется, как бы сильно вы его ни затягивали.
Чтобы понять механику этого процесса, нам не нужны абстрактные философские концепции. Достаточно рассмотреть строгие геометрические законы, которые управляют измерениями и степенями свободы.
Измерения как степени свободы
В геометрии понятие измерения означает количество независимых направлений, по которым может двигаться объект. Независимое направление — это такое направление, которое нельзя получить комбинацией других.
Представьте математическую точку. У нее нет ни длины, ни ширины. Если эта точка начнет двигаться, она прочертит за собой линию. Линия одномерна. У объекта на этой линии есть только одна степень свободы — он может перемещаться вперед или назад вдоль одной оси. Дадим этой оси название — координата X. Обычную веревку можно считать практически одномерным объектом, поскольку ее длина может быть любой, а толщиной в математических моделях можно пренебречь.
Если мы добавим к линии новое направление, строго перпендикулярное первой оси, мы получим плоскость. Это двумерное пространство. Здесь появляются координата X (вперед-назад) и координата Y (вправо-влево). Объект на плоскости имеет больше свободы, он может обходить препятствия сбоку.
Наш физический мир обладает тремя пространственными измерениями. К осям X и Y добавляется ось Z — направление вверх и вниз. Она перпендикулярна обеим предыдущим осям. В трехмерном пространстве объект обладает тремя степенями свободы и описывается тремя координатами.
Когда физики и математики говорят о четырехмерном пространстве, они не имеют в виду время. Они описывают пространство, в котором существует четвертая физическая ось. Назовем ее осью W. Эта координата должна быть перпендикулярна направлениям «вперед-назад», «вправо-влево» и «вверх-вниз» одновременно. Человеческий мозг не способен визуализировать такое направление, поскольку наш зрительный аппарат сформировался в трехмерной среде. Однако математический аппарат прекрасно работает с любым количеством измерений, оперируя исключительно числами и координатами.
Геометрия невидимого
Отказ от попыток увидеть четвертое измерение позволяет нам легко его изучать. Мы можем точно рассчитать свойства объектов в пространствах высших размерностей, опираясь на строгую логику изменения координат.
Рассмотрим процесс создания фигур. Если взять одномерный отрезок и сдвинуть его в перпендикулярном направлении, получится двумерный квадрат. Квадрат состоит из четырех отрезков-граней и четырех углов-вершин.
Если взять этот квадрат и сдвинуть его вдоль третьей оси (вверх), он сформирует трехмерный куб. Мы можем точно посчитать его элементы: у куба шесть двумерных граней и восемь вершин.
Следуя этой же математической логике, мы можем создать четырехмерный куб — тессеракт. Для этого нужно взять трехмерный куб и сдвинуть его вдоль той самой четвертой оси W. Хотя мы не можем нарисовать результат в реальности без искажений, расчеты показывают точную структуру объекта. Тессеракт состоит из восьми трехмерных кубов и имеет шестнадцать вершин. Математика не требует визуализации, чтобы знать параметры объекта со стопроцентной точностью.
Механика распада узла
Теперь применим эту систему координат к завязанной веревке. Почему узел держится в трехмерном мире?
Представим две пересекающиеся части одной веревки в узле. Одна часть лежит поверх другой. Чтобы узел развязался, верхней части нужно пройти сквозь нижнюю. В терминах геометрии это означает, что их координаты X, Y и Z должны совпасть. Но физика запрещает двум объектам занимать одни и те же координаты. Возникает блокировка. Веревка зажата в трехмерной ловушке: она не может сдвинуться ни по оси X, ни по оси Y, ни по оси Z, не столкнувшись с самой собой.
Введение четвертой пространственной оси полностью меняет ситуацию. У каждой точки веревки появляется координата W. Изначально вся наша веревка находится в состоянии, где координата W равна нулю.
Вернемся к точке пересечения. Верхняя часть веревки упирается в нижнюю. В трехмерном мире движение заблокировано. Но в четырехмерном пространстве верхней части веревки достаточно минимально изменить свою координату W — например, сдвинуться на один миллиметр по новой оси.
В этот момент координаты верхней части веревки по осям X, Y и Z могут оставаться точно такими же, как у нижней. Но поскольку их координаты W теперь различаются, они больше не находятся в одной точке пространства. Физический контакт полностью исчезает.
Изменив координату W, фрагмент веревки обходит препятствие, свободно перемещается в нужное положение по привычным осям X, Y и Z, а затем возвращается обратно к значению W, равному нулю. Узел оказывается развязанным. Нити ни разу не пересекли друг друга физически, они просто обошли друг друга по дополнительной оси. Любая петля, любой самый сложный морской узел в четырехмерном пространстве рассыпается из-за избытка свободы перемещения.
Математический закон узлов
Означает ли это, что четырехмерное пространство абсолютно неспособно удерживать связанную структуру? Геометрия дает отрицательный ответ. В многомерных пространствах объекты можно связывать, но для этого нужно использовать правильные материалы, соответствующие размерности пространства.
Математики вывели точную топологическую формулу, которая определяет возможность существования узла. Она выглядит так: максимальное количество измерений пространства, в котором объект может образовать стабильный узел, равно размерности самого объекта, умноженной на два, плюс один.
Применим формулу к нашей веревке. Веревка — это одномерная линия. Умножаем единицу на два и прибавляем один. Получаем три. Трехмерное пространство — это абсолютный математический предел, в котором линия может заблокировать сама себя.
Но что произойдет, если мы возьмем двумерный объект? В математике это плоскость или поверхность — например, круг, цилиндр или лист. Размерность такого объекта равна двум. Подставляем в формулу: два умножить на два плюс один равно пять.
Это означает, что двумерная поверхность обладает достаточной сложностью и объемом, чтобы образовать надежный, неразрушимый узел в четырехмерном пространстве. Если вы возьмете гибкую математическую сферу и определенным образом переплетете ее саму с собой в мире с четырьмя пространственными осями, она заблокирует собственные движения. Ей не хватит степеней свободы, чтобы развязаться, даже при наличии координаты W. Более того, согласно расчетам, такой двумерный узел будет сохранять прочность вплоть до пятого измерения.
Значение для науки
Изучение поведения узлов в пространствах высших размерностей — это раздел математики, который исследует архитектуру самого пространства.
Понимая, как размерность среды определяет физические свойства объектов, исследователи создают математический аппарат для описания сложнейших процессов. Эти геометрические законы применяются для вычислений в теоретической физике, где многомерные модели используются для объяснения поведения фундаментальных частиц и энергии. Изучение того, как объекты запутываются и распутываются при добавлении новых координат, позволяет нам находить математические ответы там, где человеческое восприятие оказывается бессильным.